龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程
对于微分方程
通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式
在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。 [1]
令 初值问题 表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
其中
这样，下一个值（ y n +1 ）由现在的值（ y n ）加上时间间隔（ h ）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是 h 阶 ，而总积累误差为 h 阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数（ y 可以是向量）都适用。
显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 [1]
其中
（注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。
要给定一个特定的方法，必须提供整数 s （级数），以及系数 a ij （对于1 ≤ j i ≤ s ）, b i （对于 i = 1, 2, ..., s ）和 c i （对于 i = 2, 3, ..., s ）。
龙格库塔法是自洽的，如果
如果要求方法的精度为 p 阶，即截断误差为O( h )的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求 b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及 b 2 a 21 = 1/2。
RK4法处于这个框架之内。其表为：
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
_ 1/6 1/3 1/3 1/6
然而，最简单的龙格-库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为
。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为：
_ 1
以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法，一般而言，隐式龙格库塔方法具有以下形式：
其中
在显式龙格库塔方法的框架里，定义参数
的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格库塔方法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：
需要注意的是，与显式龙格库塔方法不同，隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。
龙格库塔法的缺点
精度低。龙格库塔法是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。该技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。但是其中缺点为精度低，龙格库塔方法是一种在工程上应用广泛的单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程。采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
三阶龙格库塔优点
龙格库塔法优点是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
1、三阶龙格库塔的精度比欧拉法较高。
2、具有自动起步和便于改变步长的优点。
龙格库塔法有人知道吗?能帮帮我吗?拜托了!
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解析:
龙格-库塔（Runge-Kutta）法
到目前为止，我们已经学习了多步法，例如：亚当斯-巴什福思（Adams
-Bashorth）法，亚当斯-莫尔顿（Adams-Monlton）法，都是常微分方程的积分
方法。它们需要在每一次迭代时重新计算一遍等式右边的结果（非线性隐含问
题忽略计算多个 f (ω)值的可能性）
龙格-库塔（Runge-Kutta）法是一种不同的处理，作为多级方法为人们所知。
它要求对于一个简单的校正计算多个 f 的值。
下面，我们列出了 3 种***的龙格-库塔（Runge-Kutta）法：
改进的欧拉方法（精度：p=2）：
V a = V n + Δtf (V n,tn)
2
Δt)二阶格式
V n+1 = V n +Δtf (V a,tn +
2
Hevn’s 方法（p=2）：
这是另一种二阶格式：
V a = V n +Δtf (V n,tn)
V n = V n +
+1 Δt[ f (V n,tn) + f (V a,tn +Δt)]
2
注意： f (Vn,tn)在运算中应该只被计算一次。
四次龙格-库塔（Runge-Kutta）法（p=4）：
这是一个 4 阶格式。这次我们写的形式有点不同：
a = Δtf (V n,tn)
b = Δtf (V n + 1 a,tn + 1
2 2 Δt)
c = Δtf (V n + 1 b,tn + Δt)
1
2 2
d = Δtf (V n + c,tn +Δt)
V n =V n +
+1 1 (a +2b +2c +d)。
6
关于龙格库塔和龙格库塔法的基本思想的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。