证明四点共面的方法
把我能想到的说了吧,只想了四种……
***类:纯几何证法.
①要是四个点分别连成两条直线相交了,那必然共面.
②有位置关系,比如两两连成直线以后,出现了这两条直线垂直、平行等现象.
第二类:解析几何证法.假设这四个点是A、B、C、D.(任意两点不重合)
就不说建立空间坐标系的了,就说一下向量方法.
①平面向量基本定理.向量AB、向量AC如果能线性表出AD,也就是存在两个实数α、β使得
α向量AB+β向量AC=向量AD,那么它们就共面.
②先把平面ABC的法向量n找出来,然后用AD点乘n,如果等于0必然D在平面ABC内.
四点共面怎么证明
一、四点构成的两直线平行;
二、其中三点共线;
三、利用向量,证明四点构成的任意两个向量共线
1。以这四点为顶点的四面体 体积为0。
2。一点到其余三点所确定平面的距离为0。
3。若有三点共线,则这四点必共面。
4。四点中过任意两点的直线与过其余两点的直线平行或相交。
证明“四点共面”的方法有哪些?
你的几何知识学的不好吗?我是一名大学生,假期在家***家教,有一些自己的做题方法。在这里,可以用这么几个方法来做:
1.利用“四点构成的两直线平行”;
2.证明其中三点共线;
3.利用向量,证明四点构成的任意两个向量共线
设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)
使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面 (但PABC四点共面的时候,若O在平面ABP内,则x+y+z不一定等于1,即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件)
证明:
1)唯一性:
设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC
则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC
∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0
∵OA、OB、OC不共面
∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故实数x,y,z是唯一的
2)若x+y+z=1 则PABC四点共面:
假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面
那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC
OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)
点P位于平面ABC内 与假设中的条件矛盾 故原命题成立
如何证明四点共面
方法一:
首先证明其中三点确定一个平面,再证第四个点在这个平面内.
方法二:不妨设四点为A,B,C,D
先证明A,B,C确定一个平面,再证明B,C,D也确定一个平面,最后证这两个平面重合.
而且 四点共面=两两连线相交或平行
四点共面证明有哪些方法?
向量证明四点共面由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz, 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ,整理,得
OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。
以上是充要条件。
2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面
A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面
3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数,则两向量平行如果ax+by+cz=0,则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD,且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0,且两条线没交点
面平行线:是线平行面吧,线的方向向量和平面法向量垂直,即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ,且线不在平面内
三点共面:三点肯定是共面的,我猜你说的是三点共线吧,比如ABC三点,证明共线,证明AB与BC的方向向量矢量积为0
四点共面:比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a,再a和AD数量积为0
3怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面
简明地证明,网上的不具体,不要复制!
证明:由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC,且:x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP
将上边两式相减得:向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即:向量CP=x向量CA+y向量CB
由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。
故:A,B,C,P四点共面。
4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线,直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去
证明: PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC )=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA
到这里 因为ABC已经确定了一个平面且 PA=bBA+cCA
所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内,所以四点共面
如果两个向量a. b不共线,则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使 p=xa+yb
编辑本段共面向量的定义: 能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量
编辑本段推论:推论1 设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)
使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面(但PABC四点共面的时候,若O在平面ABP内,则x+y+z不一定等于1,即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件)
证明: 1)唯一性:
设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC
则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC ∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0
∵OA、OB、OC不共面∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故实数x,y,z是唯一的
2)若x+y+z=1 则PABC四点共面:
假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1且PABC不共面
那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC
OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)
点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立
推论2
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB{MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O,有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}
关于四点共面怎么证明和证明三向量共面四种方法的介绍到此就结束了,不知道你从中找到你需要的信息了吗 ?如果你还想了解更多这方面的信息,记得收藏关注本站。