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四点共面怎么证明 、证明三向量共面四种方法

   日期:2023-04-12     浏览:28    评论:0    
核心提示:证明四点共面的方法把我能想到的说了吧,只想了四种…… ***类:纯几何证法. ①要是四个点分别连成两条直线相交了,那必然共面. ②有位置关系,比如两两连成直线以后,出现了这两条直线垂直、平行等现

证明四点共面的方法

把我能想到的说了吧,只想了四种……

***类:纯几何证法.

①要是四个点分别连成两条直线相交了,那必然共面.

②有位置关系,比如两两连成直线以后,出现了这两条直线垂直、平行等现象.

第二类:解析几何证法.假设这四个点是A、B、C、D.(任意两点不重合)

就不说建立空间坐标系的了,就说一下向量方法.

①平面向量基本定理.向量AB、向量AC如果能线性表出AD,也就是存在两个实数α、β使得

α向量AB+β向量AC=向量AD,那么它们就共面.

②先把平面ABC的法向量n找出来,然后用AD点乘n,如果等于0必然D在平面ABC内.

四点共面怎么证明

一、四点构成的两直线平行;

二、其中三点共线;

三、利用向量,证明四点构成的任意两个向量共线

1。以这四点为顶点的四面体 体积为0。

2。一点到其余三点所确定平面的距离为0。

3。若有三点共线,则这四点必共面。

4。四点中过任意两点的直线与过其余两点的直线平行或相交。

证明“四点共面”的方法有哪些?

你的几何知识学的不好吗?我是一名大学生,假期在家***家教,有一些自己的做题方法。在这里,可以用这么几个方法来做:

1.利用“四点构成的两直线平行”;

2.证明其中三点共线;

3.利用向量,证明四点构成的任意两个向量共线

设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面 (但PABC四点共面的时候,若O在平面ABP内,则x+y+z不一定等于1,即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件)

证明:

1)唯一性:

设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC

∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0

∵OA、OB、OC不共面

∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'

故实数x,y,z是唯一的

2)若x+y+z=1 则PABC四点共面:

假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面

那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC

OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)

点P位于平面ABC内 与假设中的条件矛盾 故原命题成立

如何证明四点共面

方法一:

首先证明其中三点确定一个平面,再证第四个点在这个平面内.

方法二:不妨设四点为A,B,C,D

先证明A,B,C确定一个平面,再证明B,C,D也确定一个平面,最后证这两个平面重合.

而且 四点共面=两两连线相交或平行

四点共面证明有哪些方法?

向量证明四点共面由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz, 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ,整理,得

OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。

以上是充要条件。

2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面

A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面

3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数,则两向量平行如果ax+by+cz=0,则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD,且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0,且两条线没交点

面平行线:是线平行面吧,线的方向向量和平面法向量垂直,即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ,且线不在平面内

三点共面:三点肯定是共面的,我猜你说的是三点共线吧,比如ABC三点,证明共线,证明AB与BC的方向向量矢量积为0

四点共面:比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a,再a和AD数量积为0

3怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面

简明地证明,网上的不具体,不要复制!

证明:由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC,且:x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP

将上边两式相减得:向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即:向量CP=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。

故:A,B,C,P四点共面。

4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线,直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去

证明: PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC )=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA

到这里 因为ABC已经确定了一个平面且 PA=bBA+cCA

所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内,所以四点共面

如果两个向量a. b不共线,则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使 p=xa+yb

编辑本段共面向量的定义: 能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量

编辑本段推论:推论1 设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面(但PABC四点共面的时候,若O在平面ABP内,则x+y+z不一定等于1,即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件)

证明: 1)唯一性:

设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC ∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0

∵OA、OB、OC不共面∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'

故实数x,y,z是唯一的

2)若x+y+z=1 则PABC四点共面:

假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1且PABC不共面

那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC

OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)

点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立

推论2

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB{MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O,有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}

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标签: 向量 平面 三点
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