169阶群是交换群吗
是。169阶群是交换群，交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素，用-α表示元素α的逆元素，用nα表示α的n次幂，交换群的直积改称为直和。
交换群的这个定义是什么意思
交换群（阿贝尔群）
定义16.10 若群G,*中的运算“*”是可交换的运算，则称该群G,*是一个交换群（Commutative Group）（阿贝尔（Abel）群）。
例16.18 群Z,+，R,+，Q,+，C,+都是交换群。
定理16.16 设G,*是一个群，则G,*作成交换群的充分必要条件是：
对 a，b∈G，有(a*b)2 = a2*b2
证明 必要性：对 a，b∈G，由于运算“*”是可交换的，所以有
(a*b)2 = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b
= a*(a*b)*b = (a*a)*(b*b) = a2*b2
充分性：对 a，b∈G，若有(a*b)2 = a2*b2，则
(a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)
a*(b*a)*b = a*(a*b)*b
由消去律知：b*a = a*b
所以，运算“*”满***换律，即群G,*是交换群。
什么是交换群
阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：
它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满***换律公理。因为阿贝尔群的群运算满***换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。
阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被彻底地研究了。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。
扩展资料：
阿贝尔群例子
整数集和加法运算 "+" 是阿贝尔群，指示为 (Z,+)，运算 + 组合两个整数形成第三个整数，加法是符合结合律的，零是加法单位元，所有整数 n 都有加法逆元 −n，加法运算是符合交换律的因为对于任何两个整数 m 和 n 有 m + n = n + m。所有循环群 G 是阿贝尔群。因此整数集 Z 形成了在加法下的阿贝尔群，整数模也是。
所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。在交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。
矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群 - 一个例子是 2x2 旋转矩阵的群。
参考资料来源：百度百科-阿贝尔群
交换群在什么情况下是循环群
如果群G,*中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。
设G,*为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。
现在设G,*为群，里面有a,a*a,a*a*a,...记作a,a^2,a^3,...假设任意ij, a^i * a^j=(a*a...) * (a*a...) = (a*a...) * (a*a...) =a^j * a^i，所以是交换群.. i个 j个 分配率 j 个 i个证明完毕
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