运用地理信息系统新技术进行滑坡稳定性三维评价和滑动过程模拟研究
译自 Environment Geo1ogy,2003(43):503～512。
Mowen Xie1Tetsuro Esaki1Guoyun Zhou1Yasuhiro Mitani1著
张晓娟2译 罗靖筠2校 朱汝烈2复校
（1Environmental System Institute,Kyushu University,Hakozaki 6-10-1,Higashi Ku,Fukuoka,Japan；2中国地质调查局水文地质工程地质技术方法研究所，河北保定，071051）
【摘要】本文在传统的边坡稳定性三维分析模型的基础上，提出了一个全新的基于GIS的边坡稳定性三维栅格分析模型。在这个模型中，假定初始滑动面就是椭球底面，采用蒙特卡洛（Monte-Carlo）随机模拟方法，在求取最小安全系数法的同时，确定出最危险滑动面。运用GIS栅格模型和GIS数据模拟滑坡滑动过程时，滑坡体将沿主滑方向滑动，直到其安全系数上升到1为止。所有的计算均可通过一个称为三维边坡地理信息系统（3DSLOPGIS）的计算程序来完成，该程序主要利用GIS的空间数据处理分析功能。
【关键词】确定性模型 地理信息系统（GIS） 蒙特卡洛（Monte-Carlo）模拟 滑动模拟 三维边坡稳定性
1 引言
滑坡不稳定性和风险评价不但已成为地学家和工程专家们感兴趣的主要课题，同时也成了世界各地政府部门和管理者关注的焦点。据统计世界上每年约有600人葬身于滑坡灾害中。在许多发展中国家，自然灾害所带来的经济损失，占总国民生产总值的1%～2%。
近年来，由于地理信息系统具有强大的空间数据处理功能，被广泛运用于自然灾害评价领域。GIS是由硬件和软件组成的系统，它可以实现数据采集、输入、操作、转换、可视化、组合、质疑、分析、建模和输出等过程。GIS对空间数据具有强大的分析和处理功能。同时，基于GIS的地质技术分析模型，可以简便而有效地分析滑坡稳定性。目前它已经被广泛地用于土木工程和地质工程中，进行边坡稳定性的分析。
我们通常认为一个传统的模型无论是对均质滑坡还是非均质滑动都是适用的。稳定性指数是被广泛应用的、基于岩土工程模型和物理力学参数的安全系数。安全系数的计算需要几何数据、剪切强度数据及孔隙水压力数据，正确的结果取决于可靠的数据和恰当的模型。尽管输入的数据会较大程度地影响安全系数，但一个可靠的确定性模型对于取得可靠结果则更为重要。确定性计算可在GIS系统内执行，也可利用其他程序完成。若使用其他程序计算，则GIS只作为一个空间数据库用来存储、显示、更新输入数据。此方法主要优点是利用外部模型计算可以节约时间；而其缺陷是对从外部模型获得的数据进行转化时较为复杂。因为每一个程序都有其自己的数据格式和数据结构，数据转换成为一个主要的问题。有些程序的输入模块只允许人工输入数据。只有当这些程序所默认的数据格式都是 ASCII码时，数据转换才可直接进行。运用外部模型的另一个缺点是计算结果通常不是按GIS的空间分布模式来表达，而是以点或线的形式表述的。因此，改变这种计算结果的表达形式也是个主要的问题。
用来计算安全系数稳定性模型的边坡是二维或三维的。因为一个地区包括很多边坡，而且必须分别对每个边坡做分析，所以利用这些模型计算安全系数的空间分布非常花费时间。要克服数据转换的困难，可以利用GIS内部确定性计算模型来实现。然而这一方法也有缺点，那就是由于应用复杂算法、迭代过程及在常规二维 GIS中的三维体积等复杂局限性，使得只有简单的模型能较容易实现。当前，只有基于GIS的无限边坡模型能分别计算出每个像元的安全系数。研究表明，只有当越来越多的成熟的三维模型和GIS系统得到使用后，才能彻底解决这类问题。
从近来对 GIS用于边坡稳定性分析的调查中发现，大部分研究者潜心于运用统计学方法来确定边坡破坏与影响因素之间的关系。尽管GIS能对区域数据进行了准备和处理，但是只有极少量的研究者运用了GIS的集成功能和边坡稳定性的确定性模型。
即使在很短的距离范围内，边坡破坏在空间上都有其不同的几何结构。因而，运用三维模型分析边坡稳定性是合理的。从20世纪70年代中期以来，三维稳定性模型的发展和运用日益受到关注。在地质力学的著作中提到了几个三维分析方法。
上面提到的大部分方法都用到了柱状图法。这些方法将柱体之间的作用力，或者说作为三维安全系数计算的假定前提，都忽略不计。因为所有与斜坡相关的GIS数据都可转成栅格数据，所以这些基于三维模型的柱体，就可能借助于使用GIS栅格数据用来进行三维稳定性的计算。然而，长期以来大家习惯采用人尽皆知的“一维模型”——“无限斜坡”模型，来描述滑动面与地面平行的长期天然边坡的潜在危险性。这样的模型仅仅可以用于浅层斜坡失稳分析和一些存在深层滑坡的区域性研究。
由于算法复杂、步骤重复和三维数据在二维GIS中难于表达，早期的文献中并没有提及三维确定模型的应用。为了克服 GIS数据的外部转换和GIS内部算法复杂等困难，此次研究中，在GIS软件组件（a GIS component）中使用了Visual Basic程序。三维因子的计算和滑动过程的模拟由计算机内的三维边坡地理信息系统（3-DSLOPGIS）的计算程序完成。在这个系统中，GIS组件（ESRI公司生产的MapObjects2.1）可以完成所需的GIS功能，就像普通的GIS软件一样，它可以有效的管理和分析所有与滑动相关的数据。所有用来计算三维斜坡安全系数的数据都采用GIS的数据格式（例如矢量和栅格数据层），因此，没必要在GIS数据格式和其他程序的数据格式之间进行数据转换；同时，复杂算法和三维问题的交互程序也可以理想的实现。
在此次研究中，将基于GIS栅格数据和基于柱状图的三维边坡稳定性分析模型相结合（Hovland,1977），演绎了一个新的基于GIS栅格的三维确定性分析模型。
运用蒙特卡洛随机模拟方法求最小安全系数值，从而确定临界滑动条件。假定基本滑动面是一椭球体的较低部分，临界滑动则受不同地层受力情况和不连续界面状况的影响而变化。客观事物的这种变化引出最小三维安全系数。
如果滑坡的三维安全系数小于1，滑坡就有滑动的危险，那么评估滑坡灾害的规模和影响范围是非常重要的。因此，在此研究中，采用基于GIS三维栅格数据模型和GIS栅格数据来模拟滑坡滑动过程的目的，就是评估滑坡危险性和预测其影响范围。
2 基于GIS的三维模型
利用GIS的空间分析功能，所有与三维安全系数计算有关的输入数据（如高程、倾向、坡度、地下水、地层、滑动面和力学参数等）都有其对应的栅格元，而所有与斜坡相关的数据都是栅格化的。当这些数据输入到确定的边坡稳定性模型中时，就可计算出一个安全系数值。下面在Hovland模型的基础上，详细介绍基于GIS的三维模型。在这个模型中，考虑了孔隙地下水压力，所有输入数据都能简单地转换成栅格数据。
图1是具有潜在滑动面的滑体的三维几何示意图。滑坡的稳定性与地质岩层、地貌、地质力学参数和水动力条件有关。
图1 边坡坍塌三维景观
图2所示是土壤（或岩石）小柱状研究体物质的离散性。所有与滑坡相关的数据都可用如图2所示的柱状三维可视图来表示。假定每一个柱体单元的垂面均为无摩擦面（柱体单元的垂面不受其他边界影响，或其影响可忽略不计），三维安全系数可用公式（1）表示：
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式中：F3-D为三维斜坡安全系数，W为一个柱体的重量，A为滑动面面积，c为内聚力，φ为内摩擦角，θ为滑动面的角度，而J、I为在斜坡破坏范围栅格内的行列数和柱体数。如果没有GIS，则基于柱体模型的三维安全系数的计算将是冗长且耗时的工作，数据的更新和增加也极其不便。然而，在GIS中，通过运用GIS空间数据处理与分析功能，整个研究区的边坡稳定性相关数据可用如图3所示的矢量图层来描述；而对于每一层，则可通过GIS空间数据处理与分析功能得到栅格数据，其像元大小可根据精度需要而定。
图2 滑动面和三维棚格柱状图
现在，将斜坡破坏划分为基于栅格数据的柱体。参考图2，诸如地表、地层、地下水、裂缝和滑动面之类的空间数据均可从栅格数据层中得到。因为与斜坡相关的数据量非常大，所以不能高效的管理所有的栅格数据集。因此，在三维边坡地理信息系统中，有一个专门储存这些栅格数据的点数据库，其中，有一个属性表用来链接所有与滑动相关的数据。每个栅格柱状图的中心点设置点类型，其他区域则设置与滑坡相关的一些数据（例如地面高程、地层和裂缝的高程、地下水、滑动面的深度等等）。表1所示即是属性表的一个实例。
图3 边坡稳定性分析GIS图层
表1 点数据库的实例描述
另一方面，为了控制滑坡边界和有效管理空间数据并进行分析，滑坡的边界线被定义为多边形类型文件。
基于这种点数据库，公式1可以改成基于GIS的方程。这里所有的阻力和滑力都是沿着滑动方向的，而不必如 Hovland的模型所用的Y轴方向。在本研究中，假定斜坡区域的主要倾斜方向为可能滑动方向。根据图4，滑动表面面积可由公式（2）得到。
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从图4推导出如下公式：
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接着，x和y轴的倾角推导如下：
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记α＝cellsize/cosθxz和b=cellsize/cosθyz，则一个栅格柱状图的滑动面面积为：
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滑坡范围主滑动方向的倾角计算公式如下：
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至此，三维边坡水平滑动方向安全系数可以用下面的公式计算：
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图4 三维安全因子推导公式的一个栅格柱状图
这里，对于每个栅格，Zji,zji分别为地表高程和滑动面高程，uji为在滑动面上的孔隙水压力，而 γ′为单位重量。
为了检验基于栅格的GIS三维稳定分析模型，我们运用这个模型做了一个实例计算。实例问题为一个均质的粘土滑坡，具有球形滑动面，其他各种参数如图5所示。在图5中，c为内聚力，φ为摩擦角，R为瞬时摩擦力，γ为土的单位重量。运用封闭式（closed-form）算法得出三维安全系数为1.402。运用CLARA模型算得安全系数为1.422。同样的问题运用三维边坡模型算得三维安全系数范围为1.386到1.472，它取决于用于被分离的边坡柱体的数量。
图5 实例问题验证
运用基于GIS栅格的三维稳定分析模型（图5），并将格网尺寸定为0.5m时，算得三维安全系数为1.386；而当格网尺寸为0.6m时，算得安全系数为1.388。很明显，与封闭式算法相比，基于栅格模型的GIS可有效的用于三维边坡稳定性评估。
3 确定临界滑动表面和蒙特卡洛模拟
滑动面只能通过岩土工程调查来确定，由于地质调查的费用比较昂贵，因此滑动面通常是很难确定的。因此，边坡稳定性评价对临界滑动面的确定是非常重要的。
为了判定三维临界滑动情况，利用蒙特卡洛随机模拟方法来计算三维安全系数最小值。假定最初的滑动面是一个椭球体的较低部分，边坡表面则根据不同地层受力情况和不连续界面条件而改变。最终得到危险滑动面，同时可得到相关三维安全系数的最小值。
4 椭圆坐标转换
假定最初的滑动面是一椭球体的较低部分，椭球体的倾斜方向设置为与研究区主要的倾斜方向一致；将椭圆的倾角基本上设定得与研究区起伏变化的倾角接近。其主倾向为α，主倾角为β，它们是由边坡破坏区域主要栅格像元的值确定的。假定倾向和倾角属正常分布，则将主倾向α和倾角β代入分布模型中：
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运用公式（10）和（11）完成坐标转换。图6显示了坐标转换过程。
图6 坐标转换过程
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式中：x、y、z为全球大地坐标，
为当地坐标，x0、y0、z0为椭球体中心点坐标。
5 Z值的确定和滑动面的倾斜度
滑动面上“B”点的Z值是根据直线 AB和椭圆，由公式（12）计算的结果确定的（见图7）。
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对于每个栅格像元，滑动面的倾向和倾角可通过下面的公式计算得出，像元（j,i）的倾角可以通过图8中点1～4的Z值来确定。点1～4的值由公式（13)(14)(15）算出，滑动面的倾向和倾角由公式（16）算出。
图7 确定滑动面上的Z值
图8 滑动倾角的计算
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这里，Z(j,i）为像元（j,i）的Z值，θ为倾角，β0是相对于X轴的倾向。在GIS中，倾向是与 Y轴之间的夹角。因此，当***点是点3时，倾向是90－β0；当***点是点4时，倾向是90＋β0；当***点是点2时，倾向是270－β0；当***点是点1时，倾向是270＋β0。
6 随机模拟
为了确定临界滑动面，蒙特卡洛模拟通常用于为三维边坡稳定性分析选择变量。这些变量是椭球体的中心点、几何参数和倾角。椭球体的中心点作为研究区的中心点需要首先确定，然后在一个确定的范围内随机选择。
椭球体的几何参数a、b、c是由用户在一定范围内随机设定的，确定范围如公式（17）：
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假定a,b,c都均匀分布，则蒙特卡洛模拟的随机变量由公式（18）和（19）来算出。
在[0,1]范围内平均分布的随机变量可通过全等乘积方法得出：
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式中：ri为在[0,1]范围内平均分布的随机变量。在[a,b]范围内平均分布的随机变量可由公式（19）计算得出。
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式中：xi为在[a,b]范围内平均分布的随机变量。
椭球体的倾角设定为平均分布的一个随机变量。平均分布范围为主倾角及其在一个确定的波动范围之内变化的变量。
7 计算三维安全系数最小值的过程
整个研究区（或边坡破坏范围）可以被均分为若干小矩形栅网，如同基于栅格的GIS一样。关于基于栅格的三维边坡稳定性分析的数值计算，所有的计算过程都可以通过前面提到的Visual Basic（利用GIS组件）来完成。这个软件叫三维边坡地理信息系统，是运用 Visual Basic 6.0和ESRI公司生产的MapObjects 2.1开发的。MapObjects作为GIS的一个组件，用来对GIS数据进行组织和空间分析。计算三维安全系数的过程如图9所示。
图9 三维安全因子最小值计算过程
在这个过程中，数据模块的功能用来获得所有与边坡相关的地质、地貌、水动力学数据和地质力学参数；随机变量参数模块用来随机选择蒙特卡洛模拟的实验滑动面；三维边坡稳定性模块可用于计算三维安全系数；而危险滑动面及其安全系数可以通过一些实验计算得出。在图9中可以看到，关于GIS空间分析功能的所有模块可以通过GIS组件来实现。因为一个GIS组件是在三维边坡地理信息系统系统中完成的，所以可以有效地计算三维安全系数；同时利用与边坡相关的GIS数据，所有的相关数据和结果可以在三维边坡地理信息系统系统中实现可视化。
实例剖面如图10所示。在这个实例中考虑的因素有：4个地层、地下水和破坏面；其物理和力学参数如表2所示。
表2 研究实例的物理和地质力学参数
图10 断层面研究实例
图11 计算次数与最小三维安全因子实验
为确定临界滑动面，对蒙特卡洛随机计算次数进行了实验，总共计算次数达到了1000次。每次实验计算的三维安全系数最小值的结果如图11所示。图中明确显示在实验计算了300次后，得到的安全系数最小值。这300次实验的结果见图12，这些计算结果差别不太大，其最小值为1.34，***值是1.68。这个临界滑动的研究程序是建立在最小安全系数的计算基础之上的。而最小安全系数的计算结果取决于参数的随机选择。有关这一临界滑动实例的三维可视图见图13。通过三维模型与二维模型结果的比较，用Janbu法确定临界滑动面时，使用的是图10所示的二维模型和表2所列的参数，通过这种二维模型计算出的安全系数为1.18，这要比用三维模型计算出结果的极小值（1.346）略小一点。
图12 三维安全因子分布曲线
8 滑坡滑动过程模拟
基于GIS栅格三维边坡稳定性分析模型和GIS栅格数据，对滑坡滑动过程进行了模拟，直到三维安全系数大于1为止。滑动方向按滑动面的主滑方向确定。图14中展示了由滑动面确定的八个滑动方向。例如，若滑面方向的倾角在22.5°～67.5°之间，则滑坡将要滑动的方向恰在该图的右上方（即“5”方向）。
图13 临界滑动面三维展视图
图14 滑动面的滑动主倾向
图15 滑坡滑动过程模拟流程方框图
滑坡滑动过程的模拟流程见图15。首先，要计算滑坡初始状态时的三维安全系数，以确定其滑动的可能性。若其安全系数小于1，则接着进行下一步滑动过程模拟。先沿着由滑面主倾向确定的滑动方向移动滑坡多边形；接着，在新的滑坡多边形范围内，分步（每一步等于一个栅格大小）计算每一个栅格的DEM和滑动的变化，并再次计算下一步滑动的新滑动方向。并在新的DEM数据和滑动多边形范围的基础上，计算出新的三维安全系数。如果三维安全系数仍然小于1，则进行以下的新滑动步骤模拟。
在这种滑动模拟模型中，假定滑动面内摩擦角不改变，但除了在初始三维边坡安全系数的计算过程之外，假定滑动面没有内聚力（即内聚力为零）。
仍然用同样的实例（如图5所示），用不同的两种动力学参数进行滑坡滑动过程模拟：
情况1:c=4kN/m2，φ＝110,y=23kN/m3
情况2∶c=6kN/m2，φ＝10.5°，γ＝23kN/m3
***种情况下，初始边坡安全系数为0.82，在进行7步滑动之后，滑坡体开始趋于稳定，其安全系数是1.04。部分滑动步骤剖面及三维视图变化如图16所示。在此图中，DEM的改变及滑坡体移动过程一目了然。运用三维边坡地理信息系统，也可将可视滑动过程表现为GIS地图和剖面图的形式。滑坡体沿水平方向的最终滑动距离为3.0m。
图16 不同滑动阶段的地表和剖面三维视图
第二种情况下，滑坡体将一直向下滑动到平坦地区，水平方向滑动距离为14m。滑坡体最后停止滑动位置的三维展视图如图17所示。
图17 滑坡体最后停止位置
9 讨论和结论
在三维边坡稳定性柱状分析模型的基础上，开发了一个全新的基于GIS栅格的三维确定性模型，并且通过一个问题实例证实了其正确性。在三维边坡稳定性分析模型中，假定其初始滑面为一椭球面；其三维临界滑面，是利用蒙特卡洛随机模拟求取最小三维安全系数而确定的。基于GIS的栅格三维模型，滑坡滑动过程模拟用于判断滑坡灾害和预测滑动距离。已开发了作为计算程序软件的三维边坡地理信息系统，它足以完成一切有关三维边坡问题的计算，其中的GIS组件用于实现GIS的空间分析功能和有效数据的管理。因其具有空间分析、数据管理和与边坡相关的综合数据的GIS可视化等优点，所以三维边坡稳定性问题已经比较易于研究。自打全新的基于GIS栅格三维边坡稳定性分析模型问世，就为惯于使用传统数学方法研究边坡稳定性的工作者拓展了一个新的研究领域和数据库方法。
python实现资产配置(1)----Markowitz 投资组合模型
现假设有A, B, C, D, E五只股票的收益率数据((第二日收盘价-***日收盘价)/***日收盘价)), 如果投资人的目标是达到20%的年收益率,那么该如何进行资产配置,才能使得投资的风险***?
更一般的问题,假设现有x 1 ,x 2 ,...,x n , n支风险资产,且收益率已知,如果投资人的预期收益为goalRet,那么该如何进行资产配置,才能使得投资的风险***?
1952年，芝加哥大学的Markowitz提出现代资产组合理论(Modern Portfolio Theory，简称MPT)，为现代西方证券投资理论奠定了基础。其基本思想是，证券投资的风险在于证券投资收益的不确定性。如果将收益率视为一个数学上的随机变量的话，证券的期望收益是该随机变量的数学期望（均值），而风险可以用该随机变量的方差来表示。
对于投资组合而言，如何分配各种证券上的投资比例，从而使风险最小而收益***？
答案是将投资比例设定为变量，通过数学规划，对每一固定收益率求最小方差，对每一个固定的方差求***收益率，这个多元方程的解可以决定一条曲线，这条曲线上的每一个点都对应着***投资组合，即在给定风险水平下，收益率***，这条曲线称作“有效前沿” (Efficient Frontier)。
对投资者而言，不存在比有效前沿更优的投资组合，只需要根据自己的风险偏好在有效前沿上寻找***策略。
简化后的公式为:
其中 p 为投资人的投资目标,即投资人期待的投资组合的期望值. 目标函数说明投资人资产分配的原则是在达成投资目标 p 的前提下,要将资产组合的风险最小化,这个公式就是Markowitz在1952年发表的'Portfolio Selection'一文的精髓,该文奠定了现代投资组合理论的基础,也为Markowitz赢得了1990年的诺贝尔经济学奖. 公式(1)中的决策变量为w i , i = 1,...,N, 整个数学形式是二次规划(Quadratic Programming)问题,在允许卖空的情况下(即w i 可以为负,只有等式约束)时,可以用拉格朗日(Lagrange)方法求解。
有效前缘曲线如下图:
我们考虑如下的二次规划问题
运用拉格朗日方法求解,可以得到
再看公式(1),则将目标函数由 min W T W 调整为 min 1/2(W T W), 两问题等价,写出的求解矩阵为:
工具包: CVXOPT python凸优化包
函数原型: CVXOPT.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)
求解时,将对应的P,q,G,h,A,b写出,带入求解函数即可.值得注意的是输入的矩阵必须使用CVXOPT 中的matrix函数转化,输出的结果要使用 print(CVXOPT.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)['x']) 函数才能输出。
这里选取五支股票2014-01-01到2015-01-01的收益率数据进行分析.
选取的五支股票分别为: 白云机场, 华夏银行, 浙能电力, 福建高速, 生益科技
先大体了解一下五支股票的收益率情况:
看来，20%的预期收益是达不到了。
接下来,我们来看五支股票的相关系数矩阵：
可以看出，白云机场和福建高速的相关性较高，因为二者同属于交通版块。在资产配置时，不利于降低非系统性风险。
接下来编写一个MeanVariance类，对于传入的收益率数据，可以进行给定预期收益的***持仓配比求解以及有效前缘曲线的绘制。
绘制的有效前缘曲线为：
将数据分为训练集和测试集，并将随机模拟的资产配比求得的累计收益与测试集的数据进行对比，得到：
可以看出，在前半段大部分时间用Markowitz模型计算出的收益率要高于随机模拟的组合，然而在后半段却不如随机模拟的数据，可能是训练的数据不够或者没有动态调仓造成的，在后面写策略的时候，我会加入动态调仓的部分。
股票分析部分：
Markowitz 投资组合模型求解
蔡立专：量化投资——以python为工具. 电子工业出版社
辫状河道的二维随机游走模型模拟
王家华
（西安石油学院计算机科学系，西安 710065）
张团峰
（西安石油学院基础科学部，西安 710065）
黄沧钿
（西安石油学院计算机科学系，西安 710065）
摘要 本文用随机游走模型模拟了频繁连接和分支的辫状河道的二维分布。作为渗透率、孔隙度和泥质含量三个参数的线性组合，二维网格数据PP（i,j）可用来区分网格节点的类型：河道、泥岩或介于河道与泥岩之间的砂岩。使用了分数维布朗运动来模拟油井中这三个参数的二维分布。首先定义河道中心线，然后再考虑河道边界。在文末，描述了辽河油田的有100口井的沈－84地区的一个研究实例。
关键词 随机游走 模拟 实现 辫状河道
1 引言
研究区位于三角洲前扇和三角洲平原之间的子区域，沉积物来自于东北方向，由辫状河道和介于河道与泥岩之间的砂岩组成。由于三角洲扇沉积时弱的水动力条件，故位于河道和点砂坝之间的砂岩很少，且辫状河道是研究区域的主骨架。
在储层中，单独河道砂体有鞋带状和扁豆状两种形态。所有的辫状河道呈东北到西南方向展布。由于河道宽度小，在沉积过程中河道频繁地发生分支，所以这些辫状河道常常分路迂回、相互连接、相互交叉。
储层的油藏物理参数变化很大。例如，在相同的层，纵向和横向的渗透率可以相差10～100倍。
2 储层油藏物理参数的条件模拟
由于储层强烈的非均质性，可以用分数维布朗运动来模拟地球物理参数的分布。即可用二维随机场｛Z（x）；x∈D）来建立地球物理参数模型，并假设随机场的增量满足从一种趋势移走的高斯过程。在研究中，使用了一次趋势面。期望值EZ（x）选择如下：
fT（x）β＝β1＋β2x1＋β3x2
式中：βT＝（β1，β2，β3）。
考虑滤掉这种趋势面的随机过程：
Y（x）=Z（x）-fT（x）β
式中：Y（x）为EY（x）=0的平稳高斯过程。令DL为研究区域中的一个大小为（2n+1）×（2n+1）的网格系统，N0=（2n+1）×（2n+1）-1,D0代表位置i从DL移出之后DL的剩余部分。于是，此条件概率的分布就是高斯型的：
数学地质和地质信息
式中：
；γ是模型的变异函数，γi是一个大小为1×（N0+1）的向量，其第j个分量为－γ｜i-j｜，当j∈D0时，向量的第（N0+1）个分量为1；
是一个大小为（N0+1）×（N0+1）的矩阵，其元素为－γ｜k-l｜,k,l∈D0，除了（N0+1）×（N0+1）位置处的元素为0外，最后一行和最后一列元素为1；Z＊是一个大小为1×（N0+1）的向量，其分量为Zj；j∈D0，最后分量值为0。
渗透率、孔隙度和泥质含量的实现可通过序贯窗口层次算法获得，并可用它来作模拟辫状河道的输入。实际过程如下。
3 辫状河道的条件模拟
根据研究区域的储层特征，用前面的三个地球物理参数来确定辫状河道的位置。当深度增加时，由于地球物理参数会变小，于是，为了确定河道，就应用深度来校准这些值。
令Per、Por、Sh和H分别代表渗透率、孔隙度、泥质含量和层深。可以用一个区分值PP来确定一个二维点是否属于一个河道：
数学地质和地质信息
式中：α1、α2、a3是由地质经验确定的非原始系数，且依赖于深度H。若PP≥Q，则此位置属于一个河道；若PP＜Q，则此位置属于介于河道和泥岩之间的砂岩；若Per=0，则此位置属于泥岩。在这里，值Q是一个由地质经验确定的值，且也依赖于深度H。
基于公式（1），可以利用Por,Per,Sh的网格数据得到网格数据｛PP（i,j）；j=1，…，Ny；i=1，…，Nx）。Nx是x方向的网格节点数，Ny是y方向的网格节点数。PP值可作为模拟河道位置的输入，当要确定河道宽度时会再一次考虑它。
下面讨论模拟辫状河道位置的过程。***，模拟每一河道的中心线；第二，通过加宽河道中心线来得到河道的边界。此过程可保证被模拟的河道以1的概率穿过所观察的井中河道。河道的连接和分支遵循地质经验。
3.1 辫状河道位置的模拟
核心技术是辫状河道位置的模拟。首先，在研究区域里搜索每一河道的出发点，然后用随机游走模型来找出河道中心线。其结果是一系列的网格节点，在这些节点中，开始点就是***节点。
在这里要考虑的主要因素有：①井的位置；②由井中数据（河道、泥岩及介于河道与泥岩之间的砂岩）所表示的相分布；③PP值。以这些为基础，可以确定所有可能的河道，同时也考虑了辫状河道的连接与分支。
首先，把在每一井中的有关的相信息分配到距井位置最近的一个网格节点。一个整数KG（i,j）可能会有下面几个可能的值：
数学地质和地质信息
3.2 河道开始位置
令DL是一个在研究区域的网格系统（图1），Δx和Δy包含若干个网格间距（在这里是5个），是两个窄带的相应宽度。从（i,j）开始，在沿着东西方向的一个窄带中，i从1到Nx，j从Ⅳj到Ny搜索。假如在KG（i1,j1）等于3的网格节点发现了***个位置（i1,j1），并且在KG（i2,j2）等于2或1的网格节点获得下一位置（i2,j2），那么就可以认为i1是***个河道开始点的x坐标。
同理，从（i,j）点开始，在沿着南北方向的另一个窄带中，i从N，到Nx,j从1到Ny搜索。假如在KG（i3,j3）等于3处找到了***个位置（i3,j3），这样就能够把j3-Nj标记为一个河道开始位置的y坐标。
图1 寻找河道初始位置
图2 网格节点的转移
在研究区域内，全部可能河道的开始点可以根据前面的过程依次找到。
可以用二维随机游走模型来确定一个网格节点是否向a、b和c中的一个方向转移（见图2）。
3.3 ***个河道的流动和分叉位置的条件模拟
设当前位置为Q（i,j），下一点的确定就依赖于a、b、c三方向之一。
（1）方向a
沿着方向a从位置Q（i,j）出发找到最近的观察位置（ia,j），在这里，ia表示相应的最近的位置。令Λ表示“找到一个位置（i,j+1），它满足KG（i,j+1）=3”。假如P〔Q（i,j）→Q（i+1,j）代表转移概率，则有
数学地质和地质信息
式中：DA=｜ia-i｜×dx
；Dx＝（Nx-1）×dx；dx表示x方向上两个相邻网格节点间的距离；maxPP是网格系统中PP值的***值；α1、α2、α3、α4是由地质经验来确定的非负值，且0＜αi＜1,i=1,2,3,4。
假如沿着方向a找到了下一点，就令KG（i+1,j）＝3，否则就考虑方向b。
（2）方向b
方向b是向左下方的，迁移概率为P〔Q（i,j）→Q（i+1,j+1）〕：
数学地质和地质信息
式中：
；dx表示在x方向上两个相邻网格节点间的距离。Dy-（Ny－1）×dy；dy表示在y方向上两个相邻网格节点间的距离。β1，β2，β3，β4是由地质经验来确定的非负值，且0＜βi＜1,i=1,2,3,4。
假如一个河道的实现正向方向b转移，也就是Q（i,j）→Q（i+1,j+1），则令KG（i+1，j+1）=3，否则就考虑方向c。
（3）方向c
如果转移方向既不是a也不是b，那一定是c，其通路就是从Q（i,j）到Q（i,j+1），同时，令KG（i,j+1）=3。
重复执行前面的过程直至KG（i,j）＝一1，这样就模拟出了***个河道的位置。
3.4 所有其他可能河道的模拟
为了模拟其他河道的位置，KG（i,j）的值就要作如下改变：
数学地质和地质信息
在下面几部分将会考虑河道的连接和分支。
（1）方向a
令位置Q（i,j）向方向a转移，直到找到***个河道的位置是（ia,j）为止，并且A＝“从位置（i,j+1）向方向a找到一个位置（i,j+1），它满足KG（i,j+1）=3，并且i″满足i＜i″＜i′，KG（i″,j+1）＝1或KG（i″,j+1）=2″。P〔Q（i,j）→Q（i+1,j）表示转移概率，这样就有
P〔Q（i,j）→Q（i+1,j）〕＝
数学地质和地质信息
式中：DA=|ia一i|×dx,Dx与dx和前面一样有相同含义；maxPP是网格系统中PP值的***值；γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，γ。是由地质经验来确定的非负值，且
0＜γi＜1,i=1,2,3,4,5,6；
γ1＋γ2≤1，γ3＋γ4≤1，γ5＋γ6≤1；
γ1≥γ3≥γ5，γ2≥γ4≥γ6。
显然，假如最近的搜索位置属于一个河道，则最近搜索距离就越小，转移概率就越大。因此，河道将以更大的概率相互连接。条件γ1≥γ3≥γ5及γ2≥γ4≥γ6可以表示这样的特征：在河道间观测到泥岩，则河道的分支机会就会增加。
假如河道轨迹是从Q（i,j）到Q（i+1,j），当位置Q（i+1,j）不是河道位置时就令KG（i+1,j）等于4，否则就令KG（i+1,j）等于5。如果河道轨迹不是从Q（i,j）到Q（i+1,j），就要考虑方向b。
（2）方向b
令位置Q（i,j）向左下方向转移直到找到标记为（ia,jb）的***个位置。如果KG（i+1,j）＝1或＝2，并且Q（i,j）没有转移到Q（i+1,j+1），这样从Q（i,j）到Q（i+1,j+1）的转移概率就是
数学地质和地质信息
式中：
；Dx,Dy,dx及dy的含义同前面；δ1，δ2，δ3，δ4，δ5，δ6是由地质经验确定的非负参数，且
0＜δi＜1,i=1,2,3,4,5,6；
δ1＋δ2≤1，δ3＋δ4≤1；δ5＋δ6≤1；
δ1≥δ3≥δ5，δ2≥δ4≥δ6。
因为河道轨迹是从东北到西南方向伸展的，参数δi及γi必须满足下面的关系：
δi＞γi,i=1,2,3,4,5,6
如果河道轨迹是向着方向b的，也就是Q（i,j）→Q（i+1,j+1），那么就令
数学地质和地质信息
否则，就要考虑方向c。
（3）方向c
假如河道轨迹既不沿方向a也不沿方向b，那一定是沿方向c，也就是Q（i,j）→Q（i,j+1）。同时，必须用（2）式来修改KG（i,j+1）的值。
为了找到更多的分支河道，就重复执行前面的过程直到KG（i,j）=-1，此过程的循环参数依赖于研究区域的实际地质特征。总体看来，搜索到的分支河道数越多，河道的连接与分支就越频繁。在研究中，每一河道仅搜索一个分支河道。
3.5 其他河道及其分支河道的模拟
可以用同样的方法来找到其他河道及其分支河道。
4 河道边界的确定
每一河道的宽度依赖于PP值。PP值越大，河道就越宽。
4.1 参数
假如河道轨迹是M→N→L，就应移去位置N。显然这种处理可以简化加宽河道这一过程，但它不会改变每一河道的轨迹（图3）。
图3 加宽河道前的预处理
4.2 河道边界的确定
河道宽度公式如下：
宽度＝Δ1+PP（i,j）×Δ2/maxPP
式中：Δ1是研究区域中河道宽度最小值；Δ2是河道宽度***值；PP（i,j）是与河道相邻位置的最近的网格节点的PP值（图4）。
5 案例研究
本案例研究区域为中国辽河油田的沈－84。
图4 加宽河道
在这一区域，使用了100口井的数据，包括如渗透率、孔隙度和泥质含量这样的油藏物理参数信息，以及如河道、泥岩和介于河道与泥岩之间的砂岩这样的相信息。通过分数维布朗运动模型得到了三个地球物理参数的实现。
以这些地球物理参数的模拟为基础，通过随机游走模型可以产生相的实现（图5）。
图5 辫状河道模拟的一个实现
该模型的参数通过如下方法来选择：
Nx=Ny=65；Dx=50m,Dy=30m；
α1=0.2，α2=0.3，α3=0.1，α4=0.2；
β1=0.3，β2=0.4，β3=0.2，β4=0.3；
γ1=0.2，γ2=0.3，γ3=0.1，γ4=0.2，γ5=0.1，γ6=0.2；
δ1=0.3，δ2=0.5，δ3=0.3，δ4=0.4，δ5=0.2，δ6=0.3，Δ1=70m，Δ2=50m。
6 结论
在三角洲沉积环境中，由辫状河道控制的储层具有极大的非均质性，这是因为河道的宽度较窄且有频繁的连接与分支。描述辫状河道的二维分布是十分重要的。
在本文中，随机游走作为一种二维随机模拟方法，可用来描述辫状河道的分布。这些实现产生了一些重要的辫状河道的特征：频繁发生的河道连接与分支。同时，在模型中也考虑了河道的宽度，并且保留了河道连续性和平滑性。
致谢 特别感谢辽河石油管理局地质科学院的郑容植和李焕鹏两位高级工程师的技术支持。
参考文献
[1]H.H.Haldorsen.A new approach to shale management in field scale simulation models.SPE（10976）,1984,447～457.
[2]G.Matheron,H.Beucher,C.de Fouqqet,A.Galli,D.Guerillout and C.Ravenne.Conditional simulation of the geometry of fluriodeltaic reservoirs.SPE 62nd Annual Conference Dallas,Texas,1987,591～599.
[3]Olivier Dubrule.A review of stochastic models for petroleum reservoirs.GEOSTATISTICS,1989,2:493～506.
某企业从长期实践得知，其产品直径X服从正态分布N（15,0.2^2） 。从某日产品中随机抽取10个
1方法性质1：设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则Y=F(X)服从在〔0，1〕的均匀分布。性质2：设X1,K,Xn是某个分布的一个简单样本，其分布函数为F(x)，由性质1可知，在概率意义下，F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均匀分布，按从小到大依次排序，记为F(X1),F(X2),K,F(Xn)，其相应理论值应为ri=i-0,5[]n，i=1，2，…，n，对应分布函数的反函数值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分布中即为卡方分数）应非常接近X1,X2K,Xn，故在概率意义下，这些散点(X1,F-1(r1)),(X2,F-1(r2)),L,(Xn,F-1(rn))应在一条直线上。根据性质2，如果X服从正态分布，则散点理论上应落在一直线上，可以用Pearson系数刻画这种分布。但由于随机变异的存在，Pearson系数并不等于1，所以通过随机模拟的方法，制定出Pearson系数的95%界值下限。性质3：由条件概率公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)可知：（X，Y）服从二元正态分布的充分必要条件是固定X，Y服从正态分布(条件概率分布)并且X的边际分布为正态分布。由线性回归的性质ε=Y-(α+βX)可知，固定X，Y的条件概率分布为正态分布的充分必要条件是线性回归的残差ε服从正态分布，由此可得：（X，Y）服从二元正态分布的充分必要条件是X的边际分布为正态分布以及线性回归模型Y=α+βX+ε中的残差服从正态分布。设X来自于正态总体，从正态总体中随机模拟抽样5000次，每次抽样样本含量分别为7至50，对F(x)求秩，求出排序后的F(x)和排序后的X的Pearson相关系数。表1随机模拟5000次得到的检验正态分布的Pearson相关系数的界值（略）类似地，我们也可以用同样的方法得到检验卡方分布的Pearson相关系数的界值表（简化表）表2相关系数界值表（略）2随机模拟验证21Pearson相关系数界值表的随机模拟验证设X来自于正态总体，从正态总体中随机模拟抽样5000次，每次抽样样本含量分别为10，20，30，40，50，并计算相应的Pearson卡方系数，以及落在界值外面的比例，即拒绝比例，再在同一批数据的前提下用McNemar检验比较本方法和Swilk法的差别。表3（一元正态分布）模拟次数（略）表4（一元偏态分布，χ2)模拟次数（略）以上方法拒绝比例在样本量为7的可信区间为［78.37%，94.12%］，在其余样本量时都接近100%，可以证实是正确的。22卡方分布界值表的随机模拟验证表5卡方分布：模拟5000次（略）23马氏距离的随机模拟验证根据马氏距离的定义，从正态分布总体中随机抽取样本量分别为10，20，30，40，50的样本模拟5000次，根据上面提到的方法以卡方分数对X1,X2K,Xn求Pearson系数，并根据以上的相关系数界值表，计算相应的统计量，即拒绝比例。表6马氏距离落在Pearson系数界值表外的比例（略）24二元正态分布资料的随机模拟验证设定一个二维矩阵A，分别求出特征值P和特征向量Z，设X的元素均来自于正态总体分布，则Y=Z′×X必服从二元正态分布，随机模拟5000次，根据性质三介绍的方法验证的拒绝比例如下。表7（二元正态分布）模拟次数（略）表8（二元偏态分布，χ2）模拟次数（略）25三元正态分布资料的随机模拟验证类似地，随机模拟5000次，用同样方法进行验证，得到对于三元正态分布数据的拒绝比例。表9（三元正态分布）模拟次数：5000次
fm 没开的联赛升降级是怎么随机模拟的
如果是你没开的低级联赛，那么升不升级的结果中声望的权重比非常大。
蒙特卡罗模拟
蒙特卡洛(Monte
Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
蒙特卡洛(Monte
Carlo)模拟这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
蒙特卡洛模拟法求解步骤
应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：
1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致
2
.根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
3.
根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
5.
统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
蒙特卡洛模拟法的应用领域
蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：
1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
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